Huftis’ blogg: Lotto og sannsynsrekning

15. juli 2003 (oppdatert 25. august 2005)

Dette er ei øving i statistisk pedagogikk. Korleis ein best kan formidla emne i sannsynsrekning og statistikk er noko som er interesserer meg, og denne artikkelen er eit lite eksperiment i dette.

Forbrukarombodet om lotto

Eg valte å skriva artikkelen etter å ha lest fleire artiklar om ulovlig marknadsføring av ymse «lottosystem» hos Forbrukarombodet:

Er alle lottorekker like sannsynlige?

Det er påfallande kor løgnaktige alle som relamerer for lottosystem er (eksempelvis viser dei til ikkje-eksisterande personar som visstnok har vunne mange millionar med lottosystema), men det som for meg er mest interessant, og som er utgangspunktet for denne artikkelen, er følgjande påstand frå Forbrukarombodet:

Det finnes intet system som kan forbedre sannsynligheten for å få 7 rette så lenge man velger ulike rekker. [Deira utheving.]

Dette er heilt rett. Og meir spesifikt er alle mulige lottorekker like sannsynlige. Dette medfører at du har like stort sannsyn for å få sju rette med rekka

som med for eksempel rekka

Me menneske er av natur veldig dårlig i sjølv elementær sannsynsrekning (dette har me mykje interessant forsking på), og klarar gjerne ikkje å skjønna at dei to lottoresultata kan vera like sannsynlige, sjølv om me får det forklart matematisk.

Derfor skal eg, i staden for å bruka formlar og direkte sannsynsrekning til å forklara dette, heller visa at å anta det motsette (at sannsyna er forskjellige for dei to rekkene) vil føra til noko absurd (eit sokalla «reductio ad absurdum»-argument). Slapp av; det er ingen matematikk (eksplisitt) involvert!

Først la oss anta at du meiner det er større sannsyn for at lottoresultatet skal bli

enn med

(viss du ikkje meiner eller «føler» dette, er resten av ingen interesse, og du kan hoppa ned til slutten av artikkelen for litt kuriosa og ei tankenøtt).

La oss no måla alle kulene i forskjellige fargar, slik at for eksempel kula 1 blir svart, kula 2 blir blå, og so vidare. (Det er jo sånn det gjerne er i lotto.) Me får:

svart 1, blå 2, grøn 3, turkis 4, raud 5, lilla 6, gul 7

mørkegrøn 10, grå 16, brun 33, mørkelilla 29, gul 7, oransje 25, lyseblå 9

Berre å måla kulene med fargar vil sjølvsagt ikkje endra sannsyna, so du meiner framleis at rekka «mørkegrøn 10, grå 16, brun 33, …» er meir sannsynlig enn «svart 1, blå 2, lysegrøn 3, …». Greitt! Men la oss no òg måla over tala (igjen vil ikkje dette endra sannsyna). Me får:

No står me igjen med to rekker med sju kuler: «svart, blå, grøn, turkis, raud, lilla, gul» og «mørkegrøn, grå, brun, mørkelilla, gul, oransje, lyseblå». Påstanden din er no at den andre rekka er meir sannsynlig enn den første. Men det verkar jo absurd! Korfor skulle éi rekkja med farga kuler vera meir sannsynlig enn ei anna? (Og kva skulle då avgjera kven som var mest sannsynlig? Vil for eksempel mørke fargar vera meir sannsynlige enn lyse?)

Svaret er klart at dei to rekkene er like sannsynlige. Og sidan det er snakk om nøyaktig same kuler som når dei hadde tal på seg, må me konludera med at alle mulige lottorekkjer må vera like sannsynlige. Det er berre eit tilsynelatande mønster på dei nummererte kulene som gjer at desse verkar «usannsynlige».

No er eg interessert i å høra korleis denne artikkelen fungerte. Vart du overbevist? Eller ikkje? Hadde du tidligare blitt fortalt at rekka «1, 2, 3, 4, 5, 6, 7» er like sannsynlig som alle andre? (For ordens skyld: Sannsynet for at ei rekka skal gje sju rette er omtrent 0,00000019.) Er det noko interesse for fleire artiklar om sannsynsrekning og statistikk? Og ikkje minst: Var det ikkje fine lottokuler eg hadde teikna‽

Når det gjeld lottosystem, er det ein ting å seia: Det finst ingen og det er beviselig umulig å laga lottosystem som aukar forventa forteneste (gitt alle andre tippar tilfeldige tal) per rekka. Den einaste måten du kan auka den forventa fortenesta på (ordet «fortenesta» er for øvrig misvisande – det er snakk om å redusera forventa tap), er å la vera å spela lotto. Det blir gjerne sagt at lotto er ei form for ekstraskatt for menneske som ikkje kan sannsynsrekning.

Kuriosa og ei tankenøtt

Kuriosa

Eg skreiv at måling av lottokulene ikkje ville ha noko innverknad på sannsynet. Dette stemmer (for alle praktiske formål, eller gitt at alle målingstypane har nøyaktig same fysiske eigenskapar). Men viss du derimot sprøyter målinga inn i kulene er situasjonen ein annan:

I Pennsylvania-lotteriet i 1980 hadde ein berre 3 einsifra vinnarkuler. Programleiaren og nokre av medarbeidarane i fjernsynstrekninga sprøyta måling i alle kulene med 8 av dei 10 sifra, slik at desse vart tunge og ikkje kunne bli trekt av lottomaskina. Dei satsa so mykje pengar på alle kombinasjonane kulene med dei resterande 2 sifra kunne dukka opp i. Vinnarkombinasjonen vart 6–6–6, og gjerningsmenna vann til saman over ein million dollar. Dei vart tatt!

Historia er henta frå femteutgåva av den utmerka boka Statistics: Concepts and Controversies av David S. Moore (ISBN 0-7167-4008-7).

Tankenøtt

La oss sjå litt nøyare på lottorekka

Talmønsteret er klart, men er det ikkje eit anna mønster her òg? Kva farge ville den åttande kula ha hatt? Fem plusspoeng til den som klarar denne! ☺

Kommentarar

Av Vegard A. Johansen på 2003-07-16:

At oddsene er veldig små er ikke et argument, da det fortsatt er en mulighet til å vinne. De fleste lottospillere tror neppe de blir å vinne, og vet sannsynligvis at de løper en stor risk med å tape i det lange løp. Men da innsatsen uansett er ubetydelig for de fleste kan man likevel gjøre det.

Og du kan altså komme til å vinne. Jeg har selv slekt som har vunnet betydelige summer, og da blir de tyve kronene i uka man har gitt forut for det ubetydelig. Hadde vedkommende gått gjennom hele livet uten å vinne noe ville fortsatt disse tyve kronene i uka vært ubetydelig.

Å spille er et rasjonelt valg, om ikke et økonomisk-rasjonelt valg (vi snakker ikke om en genial forretningsidé her), og det er et valg jeg har all forståelse for.

Hva man opplever som spennende er også subjektivt. Jeg synes ikke det er spennende å gå på glattisen, mine følelser angående det ligger nærmere frykt, tror jeg :)

--

(en heelt annen ting: jeg har problemer med kommentarene her. Bruker Mozilla, og etter forhåndsvisning forsvinner teksten i kommentarfeltet (men ikke i feltene for navn, mail etc))

Av Karl Ove Hufthammer på 2003-07-16:

Eg klarar på ingen måte å sjå at lottospeling kan vera eit rasjonelt val, og held fast på at folk som oppfattar det slik ikkje har forstått sannsyna, forventa fortenesta/tap og so vidare.

Viss folk hadde forstått sannsyna involvert betre, er eg faktisk sikker på at dei ikkje hadde spelt lotto.

Elles seier du at du har slekt som har vunne store summar. Dette overraskar meg ikkje. Sannsynet for at ein person kjenner, har slekt eller bur i nærleiken av ein person som har vunne mykje (gjerne førstepremien) i lotto er nok svært stor. Dette er noko av det som er med på å gje eit feilaktig inntrykk av vinnarsjansane.

Ikkje noko stort poeng, men viss du lever i hundre år, blir faktisk 20 kroner i veka 100 000 kroner i livet, som lett blir nokre millionar ved innskot i banken, sjølv med dårlig renta. Endå meir kan ein sjølvsagt forventa ved å satsa pengane på børsen (med med større uvisse, og sjansar for tap). I motsetning til lotto, der du i det lange løp vil tapa pengar, vil du på børsen i det lange løp tena pengar. (Og sjølv ved store tap på børsen vil du nok sitta igjen med mykje meir enn viss du brukte same pengane på lotto!) Kva som er mest rasjonelt (og spennande) å bruka pengane sine på bør vera klart.

No skal for øvrig førehandsvisinga fungera.

Av Vegard A. Johansen på 2003-07-16:

(Vi legger nok forskjellige ting til grunn her, men da jeg kjeder meg grønn på jobb nå og samtidig tross alt er forhenværende sosiologistudent må dette svares på.)

Sosiologisk sett opererer man gjerne med rasjonelle valg, og dens motsetning emosjonelle valg. Et rasjonelt valg gjør man hvis man har (eller tror man har) overblikk over gevinst / tap og innsats, og hvis man på bakgrunn av denne kan slutte at man får en merverdi ut av det, på en eller annen måte. Merk at denne merverdien overhodet ikke trenger å være av økonomisk art (vi foretar rasjonelle og emosjonelle valg hele tiden, og de aller færreste er for å oppnå økonomisk gevinst).

Derfor blir det et rasjonelt valg å satse 20 kroner, når gevinsten er eksempelvis spenning (basert på en mulighet for å vinne, uavhengig av hvor liten den er). Vurderer du verdien av fem minutters spenning høyere enn 20 kroner vil det altså være et rasjonelt valg å spille lotto.

Merk at jeg, som deg, ikke spiller lotto, ikke synes det er spennende, og derfor ikke vurderer det som rasjonelt å bruke 20 kroner i uka på det. Et rasjonelt valg basert på mine premisser for hva som gir meg merverdi. Andre personer kan foreta samme valg basert på forskjellige premisser, og komme til forskjellige konklusjoner. Valget er like fullt rasjonelt.

Moteksemplet ville vært å spille lotto av emosjonelle grunner. Å velge å betale 20 kroner i uka fordi «det føles riktig», eller at «jeg må det». Men de emosjonelle valg man foretar er som oftest ikke knyttet til så lite emosjonelle objekter som en skarve lottokupong :)

Om kriteriet ene og alene er å oppnå merverdi i form av hard cash er det åpenbart lite smart å spille lotto. Men det er neppe tilfellet, da dette ville betydd at ca en fjerdedel (?) av norges befolkning er ravende idioter.

Av Karl Ove Hufthammer på 2003-07-16:

Ja, mykje av dette du skriv kjenner eg igjen som nyttefunksjonar (og indifferenskurver) i spelteori (eit emne eg berre har elementærkunnskap i).

Men eg vil påstå at folk gjerne har eit bevisstlaust forhold til lotto. Dei spelar meir av gammal vane, enn fordi dei faktisk har reflektert over og synest nytteverdien av «spenninga» er større enn dei 20 (eller gjerne mykje meir enn 20) kronene dei satsar.

Eg trur rett og slett ikkje folk synest det er so spennande å spela lotto som ein gjerne hevdar. Ein slenger berre inn ein kupong fordi «det kan jo bli meg», eller «nokon må jo få sju rette» og dei tør ikkje ta «sjansen» på å gå glipp av storgevinsten.

Men det er klart at me snakkar om to forskjellige definisjonar av rasjonalitet. For eksempel vil det med din definisjon kunne vera «rasjonelt» å delta i mitt lotteri, der ein ikkje kan vinna noko, so lenge ein ikkje har forstått dette. Likeleis kan det vera rasjonelt å bruka mykje pengar på uverksame lottosystem.

Uansett, sidan heile diskusjonen berre har utgangspunkt i forskjellig forståing av omgrepet «rasjonalitet», har det ingenting for seg «krangla» meir om dette. So eg trur me sluttar her! ☺

Av Karl Ove Hufthammer på 2004-05-23:

Støtter deg 100 % i at 1 av alle de 5379616 mulige kombinasjonene kan komme når-som-helst. Men du må huske på at sannsynligheten for at samme rekke skal komme igjen neste uke er minimal.

Ja, sannsynet er nøyaktig 1/5379616, eller omtrent 0,00000019.

Dersom et tall har vært borte over lengere tid er det stor sannsynlighet for at dette tallet kommer snart.

Nja, stor og stor. Det vil skje i cirka eitt av fem tilfelle. (Altso er det omtrent éin femdels sjanse (20 %) for at talet 8 blir trekt ut på laurdag.) Men viss du med «snart» meiner for eksempel fem veker, er sannsynet nærare 70 %.

Merk for øvrig at dette har ingenting med kor lenge talet har vore «vekke». Kva tal som blir trekt éi veka er uavhengig av resultatet av tidligare trekkingar.

Har observert at i ca. 90 % av tilfellene kommer ett eller to tall i fra forrige uke. (Kan ikke forklare dette.)

Ja, dette kan stemma. Viss me ser heilt vekk frå tilleggstala er sannsynet omtrent 83,5 % for at minst eitt av vinnertala for førre veke skal komma med. Tar me med vinnertala (både for førre og denne veka) er sannsynet omtrent 96 %.

Dersom systemer tar hensyn til dette, er jeg overbevist om at du øker dine premiesjanser …

Dessverre, nei.

Etterfølgende tall (eks. 19–20, 7–8): Veldig ofte kommer tall i «klynger», dette kan systemer oppfange …

Eg vil rå deg til å lesa gjennom artikkelen på nytt. Du håpar eg du vil sjå kor argumentet ditt sviktar.

Du må ikke glemme: Hvis du skal ha en ørliten mulighet til å bli Lotto-millionær, så må du spille! Greit å opplyse folk om statistikk/vinnersjanser, men det ødelegger jo litt av spillerens dyrt kjøpte drøm om stor-gevinst …

Ein mykje betre strategi er å satsa pengar på børsen. Der vil du oftast på lang sikt tena pengar, i motsetning til Lotto, der du på både kort og lang sikt vil tapa pengar.

Eller sagt på ein annan måte, om du gjev 100 000 kroner kvar til 1 000 personar, og ber halvparten av dei spela Lotto i 40 år (tilsvarar ein femtilapp i veka), og andre halvparten setta pengane i aksjar (eller fond), vil du sjå av gjennomsnitts- eller medianfortenesta for siste gruppa vil vera betydelig større enn for Lotto-spelarane. (For Lotto-spelarane vil det ikkje vera snakk om fortenesta, men typisk store tap.)

For all del, ikkje sjå på dette som eit spesifikt råd om å putta alle sparepengane dine i tvilsame aksjar! Og sjølvsagt tar eg atterhald mot at eg har rekna feil nokon plass.

Av Stein Runo Skaug på 2005-08-21:

Det er mye en kan si om lotto. JA, det er et lykkespill. JA, det er én til fem millioner i odds for å vinne topp-premien. JA, det er en form for ekstraskatt. Og JA, det er garantert lurere å sette sine penger på noe som man kan forutsi ved hjelp av personlig kunnskap.

MEN …

Det finnes faktisk systemer som kan eliminere oddsen noe for å tape penger. La oss gjøre dette kort og greit. Si at du spiller 100 rekker hver uke og bruker tallene 14 og 15 på hver eneste rekke i systemet. De andre tallene kan kombineres slik at du dekker opp de fleste tallkombinasjonene utover 100 rekker. Skulle tallet 14 og 15 gå inn, så er sjansen for gevinst mye større, da man allerede har 2 rette i utgangspunktet på 100 rekker.

Det finnes INGEN systemer som kan gi 7 rette. Helt enig. Men det finnes systemer som kan gi deg en bedre odds for å vinne. Det syns jeg ikke folk skal underdrive. Især ikke folk med matematisk bakgrunn.

Takk og lykke til med alle spill ‶ Selv setter jeg mine penger på et par pils og en god hånd texas holdem.

Av Karl Ove Hufthammer på 2005-08-21:

Eg må nok skuffa deg, Stein. Det systemet har ingenting for seg, og det aukar ikkje vinnarsjansane (i forhold til å velja 100 rekkjer heilt tilfeldig). Det er ein vanlig feilslutning å tru at dette vil hjelpa.

Det er rett at viss 14 og 15 skulle komma inn, er det større sjanse for å få 7 rette (sannsynet er då 1 over 201 376) (eller ein annan gevinst, for den saks skyld), men det er irrelevant, for sannsynet for at 14 og 15 skal komma er so lite (7 over 187) at sannsyna tilsaman «opphever» kvarandre (1 over 201 376 × 7 over 187 = 1 over 5 379 616), og vinnarsjansane er som før.

La oss ta eit forenkla eksempel. La oss tenka oss at det ikkje finst 34, men berre 3 lottokuler, 1, 2 og 3, og det vert trekt 2 av desse. Mulige vinnerrekkjer er då 1–2, 1–3 og 2–3. Viss me antar at kulene vert godt blanda, slik at alle rekkjene er like sannsynlige, har me då ein vinnarsjanse på éin tredel viss me satsar på éi rekkje.

Strategien din vil her vera å for eksempel kjøpa opp alle rekkjene med kula 1 i. Det vert dei to rekkjene 1–2 og 1–3. Gitt at 1 går inn, har me vinnarsjanse lik 1 (me vinn heilt sikkert). Men sjansen for å vinna toppremien er lik sjansen for at 1 skal gå inn (2/3) gongar sjansen for at me skal vinna gitt det har skjedd (1), altso totalt 2/3. Og dette er lik sjansen for å vinna toppremien uansett kva to rekkjer me satsar på (dei treng ikkje innehelda 1).

Men merk at strategien er fornuftig når det gjeld Tipping og andre spel der «sjansane» for at ulike lag vinn ikkje er like. Viss ein held lag med store vinnarsjansar «sikre», vil ein i snitt vinna oftare og meir enn viss ein «sløser vekk» rekkjer på laga desse spelar mot.

Av Svein Harkestad på 2005-12-04:

Greit dette med at det er usannsynlig små sjanser å vinne i Lotto. Har selv brukt som eksempel å tippe bilnummeret på neste bil du møter. Det er da bare snakk om å tippe riktig 5 tall innenfor maks 90 000 mulige. Selv dette er tilnærmet umulig, men sikkert langt lettere enn å vinne i Lotto.

Tilbake til Lotto: På den annen side kan jeg si meg fornøyd med å ha et lite 10 rekkers lottosystem som bare har mulighet til å slå til med inntil 6 rette inntil 10 ganger i året. Dvs jeg tipper da på 16 faste tall. Ca. 10–20 ganger i året ligger erfaringsmessig 5–7 av vinnertallene innenfor disse 16 faste tallene. Prinsippet blir da: Varier disse 16 tallene i et fast oppsett på 1 kupong à 10 rekker, og du vil øke tilbakebetalingen fra Norsk Tipping noe. Har selv oppnådd 3 seksere for noen år tilbake på denne mindre kostbare måten å gjøre det på. Systemet gir 4 + 1 én gang per måned og 5 rette 2–3 ganger pr år (som en hvilken som helst annen tilfeldig kupong). 6 rette kan jeg erfaringsmessig ha håp om innen 1–3 år. Slår 6 rette inn som hos meg så går du akkurat ut i null uten hverken å tjene eller tape noe større. Derfor har jeg ikke giddet å holde på med det lenger. Men helt konsekvent å avvise system til forbedring kan jeg ikke se er helt riktig, for jeg har aldri fått 6 på tilfeldige kuponger, og det leverer jeg av en eller annen idiotisk grunn inn hver uke fortsatt :–). Jeg er klar over at bare 3 gevinster à 6 rette kan oppfattes som tilfeldig og er et svært tynt statistisk grunnlag, men de kom i den perioden på 90-tallet da jeg holdt på med dette, og ikke flere senere. (OBS: Nå fikk jeg nesten lyst å starte opp igjen …)

For å sammenligne det med bilnumrene som jeg begynte med øverst, så vil du ved å ha noen faste tall hver gang du møter en bil, av og til lykkes, iallefall 4 av de 5 sifrene. Men hvis det koster f.eks. 3 kroner som i Lotto for hver gang i innsats, så …

Av Karl Ove Hufthammer på 2005-12-04:

Eg er ikkje sikker på at eg har forstått heilt kva du meiner, Harkestad, men eg trur det er dette:

Du trekker først ut 16 «faste» tal. Frå desse lagar du ein kupong med 10 rekker, der desse tala inngår. Du leverer so inn denne kupongen og observerer at du får fleire gongar seks rette (og andre gevinstrekker) enn med heilt tilfeldige rekker, og konkluderer at dette er ein betre strategi. Korriger meg viss det er noko feil i denne forklaringa.

Eg skal ikkje prøva å argumentera mot dette (sjå tidligare kommentarar for dette), men eg har laga eit lite program for å simulera det. Programmet kjører i språket R, som er fritt og gratis tilgjengelig for dei fleste plattformer. Kven som helst kan derfor sjekka resultatet – gjerne opp mot sine eigne lottosystem.

Programmet lagar først ein fast lottokupong, med 10 rekker der tala er henta frå 16 tal. Det gjer so 1 millionar trekningar, og tel opp talet på dei ulike gevinstane med den faste kupongen, og med ein heilt tilfeldig kupong (med 10 rekker). Programmet tar for enkelheits skyld ikkje omsyn til tilleggstal, men det er trivielt å legga til (me lar det vera ei «oppgåva for lesaren»). Det kunne nok programmerast smartare/kjappare, men for å halda det oversiktlig har eg vald denne løysinga.

10 millionar trekningar er sjølvsagt altfor lite til å få gode estimat for dei høgste gevinstane (sju rette får ein jo berre rundt éin av fem millionar gongar i snitt), men det gjev ein fin indikator (og gode estimate for dei små gevinstane). Her er resultata for tre forsøk (altso 30 millionar trekningar), der kolonnene viser talet på rette lottotal:

Talet på rette 0 1 2 3 4 5 6 7

Fast kupong

1. omgang 1648284 3855192 3150052 1142322 190234 13567 346 3

2. omgang 1649458 3846248 3155764 1144012 190463 13703 350 2

3. omgang 1652037 3853286 3149749 1141293 189687 13578 369 1

Tilfeldig kupong

1. omgang 1651193 3850835 3151954 1140990 191036 13630 360 2

2. omgang 1651664 3852288 3150108 1141735 190070 13798 336 1

3. omgang 1651519 3853115 3149819 1141032 190553 13591 369 2

Me ser at strategien med 16 faste tal ikkje gav fleire gevinstar. Her er dei teoretiske sannsyna (tilnærma, basert på uavhengige rekker), samt estimata av vinnarsjansane, basert på alle trekningane:

Talet på rette 0 1 2 3 4 5 6 7

Teoretisk 0,165073121 0,385170614 0,315139594 0,114181012 0,019030169 0,001370172 0,000035133 0,000000186

Fast 0,164992633 0,385157533 0,315185500 0,114254233 0,019012800 0,001361600 0,000035500 0,000000200

Tilfeldig 0,165145867 0,385207933 0,315062700 0,114125233 0,019055300 0,001367300 0,000035500 0,000000167

Samla 0,165069250 0,385182733 0,315124100 0,114189733 0,019034050 0,001364450 0,000035500 0,000000183

For ordens skyld: Ikkje bli for overbegeistra over dei til saman 11 «7 rette» som dukka opp; eksperimentet er basert på i praksis 60 millionar «trekningar», mens ein vanlig person berre opplever 52 trekningar i året (multipliser med talet på innleverte rekker for samanliknbare tal).

Talet på rette	0	1	2	3	4	5	6	7
Fast kupong
1. omgang	1648284	3855192	3150052	1142322	190234	13567	346	3
2. omgang	1649458	3846248	3155764	1144012	190463	13703	350	2
3. omgang	1652037	3853286	3149749	1141293	189687	13578	369	1
Tilfeldig kupong
1. omgang	1651193	3850835	3151954	1140990	191036	13630	360	2
2. omgang	1651664	3852288	3150108	1141735	190070	13798	336	1
3. omgang	1651519	3853115	3149819	1141032	190553	13591	369	2

Talet på rette	0	1	2	3	4	5	6	7
Teoretisk	0,165073121	0,385170614	0,315139594	0,114181012	0,019030169	0,001370172	0,000035133	0,000000186
Fast	0,164992633	0,385157533	0,315185500	0,114254233	0,019012800	0,001361600	0,000035500	0,000000200
Tilfeldig	0,165145867	0,385207933	0,315062700	0,114125233	0,019055300	0,001367300	0,000035500	0,000000167
Samla	0,165069250	0,385182733	0,315124100	0,114189733	0,019034050	0,001364450	0,000035500	0,000000183

Av Svein Harkestad på 2005-12-06:

Joda, du har forstått det hele riktig. Og takk for jobbing med illustrerende oppsett. Det er bra du holder hodet kaldt og ikke «biter på», for ideen min inneholder en svært ulogisk slutning, nemlig den at det skulle kunne gå an å gå ut i null, dvs. vinne tilbake ca. like mye som man har lagt ut. I så fall kunne jeg selge ideen til hele det norske folk – en garanti om å aldri gå med tap. Men når man vet at Norsk Tipping aldri betaler ut mer enn halvparten i premier, så må det logisk nok være mitt oppsett det er noe galt med!

Representant fra Norsk Tipping gikk i sommer ut med et illustrativt eksempel på hvor små vinnersjansene er: Hvis du kjører med tog fra Bergen til Oslo og der er utplassert en bøtte på strekningen, så skal du slippe ut en ball fra togvinduet en vilkårlig plass underveis. Hvis ballen treffer oppi bøtten, er det som å vinne 7 rette i lotto. Men selv dette er nærmest for reklame for Lotto å regne. Jeg har målt en bøtte til å være ca 0,25 meter i diameter. 0,25 meter multiplisert med 5 379 616 muligheter som i Lotto gir 1 345 km. Det vil da si at bøtten måtte stå en tilfeldig plass mellom Bergen–Oslo–Trondheim og et sted langt nord i Nordland! Da skjønner en at mulighetene er små for den store gevinsten.

Enkelte år har jeg elever som er veldig fokusert på å tippe Lotto. Jeg pleier da å skrive et eksempel på tavlen: Hvis du spanderer 300 kr så får du 100 rekker. Hvis du tar totalt antall mulige 5 379 616 rekker minus de 100, så står du fortsatt igjen med 5 379 516 som du ikke har tippet, men som altså er akkurat like sannsynlige vinnerrekker som dine egne. Og videre, selv om du tippet for mer enn hele lønningen med 10 000 rekker så står du fortsatt igjen med 5 369 616 som du ikke har tippet på. I realiteten har altså ikke tallet minket noe, dvs at mulighetene har nesten ikke økt overhodet!

Dette er også lett å skjønne ut fra ditt (gode) eksempel over med ulike farger på kulene istedetfor tall.

Men så var det dette med hell da, jeg fikk jo vitterlig 3 seksere over en periode – så jeg fortsetter jo dumt nok å levere inn en kupong i uken :–)

Av Karl Ove Hufthammer på 2005-12-18:

Men når man vet at Norsk Tipping aldri betaler ut mer enn halvparten i premier, så må det logisk nok være mitt oppsett det er noe galt med!

Apropos dette kan eg nemna at Dine Penger har ei fin oversikt over tilbaketalingsprosentane i ulike pengespel (for dei som måtte vera interessert i slikt).

For øvrig er det verdt å merka seg at Norsk Tipping ikkje baserer seg statistiske lover (av typen «store tals lov» og liknande) ved utbetalingane; til det er det altfor få trekkingar. I staden for å lova ei fast vinnarutbetaling for innsatsen, som i mange andre pengespel, lar dei utbetaling avhenga av kor mange som vinn. Slik er det ikkje berre teoretisk usannsynlig, men òg umulig, for dei å gå med tap.

Representant fra Norsk Tipping gikk i sommer ut med et illustrativt eksempel på hvor små vinnersjansene er: Hvis du kjører med tog fra Bergen til Oslo og der er utplassert en bøtte på strekningen, så skal du slippe ut en ball fra togvinduet en vilkårlig plass underveis. Hvis ballen treffer oppi bøtten, er det som å vinne 7 rette i lotto.

Det opphavlige eksempelet er visstnok laga av Ørnulf Borgan ved Universitetet i Oslo, og er å finna på nettsidene til Norsk Regnesentral. Tala og avstandane er litt forskjellige der.

Av Jonas Nystuen på 2006-04-08:

Det finnes 5.379.616 (fem millioner trehundreogsyttinitusen sekshundreogseksten) forskjellige kombinasjoner i Lotto.

For å være 100% sikker på å vinne må du levere lottokuponger for 21.518.464 kr.... Noe som IKKE er lurt å gjøre... (hvis du ikke sitter med flere milliarder på konto og har lyst til å ha det litt gøy en lørdagskveld, men du kommer aldri til å tjene på det...)

Jeg ser at ovenfor her så var det noen som sa at sannsynligheten for at den samme lottorekka skal komme to uker på rad er minimal, - ja den er minimal, men det er akkurat like stor sjanse for at det skal komme samme lottorekka 10 uker på rad som at det skulle komme 10 forskjellige! sjansen er nøyaktig den samme hver eneste lørdagskveld, kulene i lottomaskina husker ikke og tenker ikke over hvilke kuler som var ute forrige helg...

Ett lite eksempel på hvor stor sjanse det er å treffe den riktige rekka i lotto;
La oss anta at du spiller én rekke i lotto, sjansen for at du treffer akkurat den rekka er like stor som om du dro til Slovenia (5,5 mill innbyggere) for å møte en person der, du vet ikke om det er mann eller kvinne, du vet ikke om personen er svart eller hvit, du har ingen anelse om hvor personen bor, du vet rett og slett ingen verdens ting om personen du skal finne. Du går ut av flyet i Slovenia og drar til nærmeste by, du stopper ved den første personen du ser og det er riktig person...

-tog, ballong og bøtte eksempelet:
Morsomt eksempel, og det finnes mange av de, men det er jo ett par forutsetninger for at dette eksempelet skal være sant, hvis ballongen er 1 meter i diameter, så må bøtta være det samme, i tillegg må strekingen mellom Oslo og bergen være 5.379.616 meter, slik at det går 5.379.616 bøtter mellom de to stedene... (kunne selvfølgelig brukt 10 cm ballonger eller 30 cm ballonger, bare litt forenklet...)

Av Karl Ove Hufthammer på 2006-06-19:

For fotballtipping kan me ikkje snakka om sannsyna for dei ulike resultata like enkelt (sidan dei avhenger blant anna av kva lag som spelar mot kvarandre og kor gode desse er). Det finst totalt 531 441 ulike tippekupongar, men sannsynet for førstepremiar er nok betydelig større enn 1 / 531 441 (det er meir enn kvar 531 441. innleverte rekkja som gjev førstepremie, utan at eg sit på noko statistikk på dette).

For lotto er det derimot lett å rekna sannsynet, sidan alle kuler har (so godt som) likt sannsyn for å ramla ut, og oppfører seg uavhengige. For første vinnarkule er det 34 muligheiter, for neste er det 33, og so vidare, so me har totalt 34 · 33 · 32 · 31 · 30 · 29 · 28 = 27 113 264 640 muligheiter. Men sidan rekkjefølgja kulene kjem ut ikkje har noko å seia, vert det totalt færre unike kombinasjonar.

Gitt 7 (vinnar)kuler, kan desse trekkast i 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5 040 rekkjefølgjer. Kvar mulige lottorekkja opptrer altso 5 040 gongar i svaret ovanfor, slik at talet på forskjellige lottorekkjer vert 27 113 264 640 / 5 040 = 5 379 616.

Av Håvard på 2006-07-25:

Hei,

Sommersurfer litt rundt dette med sannsynlighet og lottotall. Tilhører den delen av befolkningen som faktisk spiller lotto sporadisk, til tross for at jeg innehar kunnskap som burde hindre meg i dette.

Nok om det.

Det som interesserte meg litt i dag var Norsk Tippings historiske statistikk over vinnertall. I perioden fra man begynte med Lotto, og frem til forrige lørdag (tror det er 1058 trekninger), fremstår noen tall som 'heldigere' enn andre. 18 er faktisk trukket ut 250 ganger, mens tallet 3 er trukket ut 200 ganger. Jeg gjetter meg til at dette skyldes antallet trekninger er så lavt at man ikke får en jevn fordeling. Det store spørsmålet er om man bør satse på at statistikken jevner seg ut og dermed spille på de tallene som har 'underprestert', og eventuelt over hvilket antall trekninger man kan regne med å få en jevn fordeling?

Som en kuriositet til dere som savner avisenes formtabell for lottotall, kan jeg nevne at 17 (10 ganger) og 18 (11 ganger) er i slaget i år, mens 2 (1 gang) har skuffet stort.

Lotto og sannsynsrekning